Duda COD Modern Warfare 2 - PS4 Multigeneracional

Buenas a tod@s.

En primer lugar disculpar mi falta de conocimiento puesto que he comprado la PS5 hace 2 semanas. Voy al grano.

El caso es que en PS4 estaba jugando Chernobylite, y cuando coloqué la nueva PS5 instalé el juego y me daba la opción de descargar y jugar la versión de PS5, encontrándome en el menú de inicio con dos juegos Chernobylite, el de PS4 y el de PS5. 

Ahora bien, me regalaron el nuevo COD para PS4 pero el multigeneracional, en el cual venía el típico código para descargar la versión del PS5. Mi sorpresa es que al descargarlo, no se me instaló nada nuevo, es decir, no me aparece abajo el icono de que sea el COD MW2 para PS5, como sí pasa con Chernobylite, que aparecen dos versiones, la pasada y la de la nueva generación, con lo cual, me lleva a pensar que no he instalado bien el COD para PS5, y que estoy jugando el de la antigua versión teniendo el de la nueva.

El caso es que aún no me hago al sistema de PS5, y he probado a buscar en biblioteca de juegos el COD de la nueva generación pero no lo encuentro, y si me voy a la PStore me aprace el COD con su incono de PS5, pero me pone el precio, es decir, no me sirve el Código que viene en el juego para ps4 en el que aparece "[i][/i]utilice este código para descargar la versión de ps5[i][/i]".

En resumen; he utilizado el código de descarga del juego en versión ps5 que viene en la caja del juego de ps4 pero no me aparece en el menú de inicio el COD con su icono debajo de ps5; ¿estoy jugando al juego de ps4 en ps5?, ¿o es un fallo y aunque debajo aparezca el icono de ps4 es en realidad el de ps5?, ¿existe mucha diferencia en cuanto a gráficos de una versión a otra?, en fin, si alguien puede ayudarme y sacarme de dudas se lo agradecería.

Gracias de antemano, un saludo!